無限について
無限 ： 無限大、無限小、無限遠点、無限集合（加算/非加算）、無限小数、無限列、超限数、デデキント無限
濃度（数学） ： 無限集合の濃度 基数の大小関係 基数の演算
参考、巨大数
無限とは、
限りが無いことです。
巨大数よりも大きい、ということですね。
無限は、とても不思議です・・・
無限集合の濃度を、無限基数といいますが・・・
基数の間には、和、積、冪が定義できます・・・
でも、無限＋無限は、2無限ではなく、やはり無限です。
無限集合には、種類があります。
可算無限集合は、
数え上げ可能な無限集合です。
整数や有理数があります。
非可算（無限）集合は、
数え上げ不可能な無限集合です。
実数や複素数があります。
整数等の「数」は、身近にある無限です・・・
ちなみに、数には、
整数、有理数、実数、複素数は、環を成します。
これらは、整数を除き、体でもあります。
デデキント無限は、
ある集合自身と対等な真部分集合が存在する集合です・・・
部分と全体が、一対一の対応をするという、不思議な世界です。
複素数は、大小関係を定義できないため、無限大はありませんが、
似た概念として、無限遠点を考えることができます。
無限遠点では、なんと、平行線が交わります。
尚、リーマン球面は、
複素平面に、1つの無限遠点を追加して得られます。
弦理論では、弦の世界面は、リーマン球面です。
ちなみに、メビウス変換からなる二十面体群は、
五次方程式の解析解を与えるために用いられたそうです・・・
関係あるかどうかはわかりませんが、また？二十面体ですね。
尚、ガロア理論によると、五次方程式は、代数的に解けない
（5次の一般方程式の根を、その式の各項の係数と有理数の、
有限回の四則演算及び有限回の根号をとる操作の組み合わせで、表示することはできない）そうですが・・・
四則演算と、通常の冪根をとることに加えて、
超冪根（既約な方程式 x5 + x - a = 0 の唯一の実根）をとる操作も、「代数的操作」として許容した場合、
一般五次方程式が「代数的に」解けるようです。
限りが無いことです。
無限大（ ∞ ）
いかなる数よりも大きい様を表すものです。
どの実数よりも大きな、ある特定の数（超準解析や集合の基数等）、
ある変量が、どの実数よりも大きくなる（極限等）ことを表します。
尚、無限大を、ある種の数と捉える場合でも、
それに適用される計算規則の体系は1つだけではありません。
実数の拡張としての無限大には、∞ (+∞) と −∞ があります。
大小関係を定義できない複素数には、無限大の概念はありませんが、
類似の概念として、無限遠点を考えることができます。
無限小
（0を除く）いかなる数よりも、（絶対値が）小さな数ととられる、記号または拡張された数です。
無限大と同様に、1つの数を表すものではなく、限りなく小さくなりうる変数と考えます。
一方、超準解析等では、数学的に定式化されます。
ユークリッド空間で平行に走る線が交差するとされる空間外の点、または、
拡張された空間における無限遠の点。
平行な直線のクラスごとに、1つの無限遠点があるとする場合は、射影空間が得られます。
この場合、無限遠点の全体は、1つの超平面（無限遠直線、無限遠平面等）を構成します。
全体で、ただ1つの無限遠点があるとする場合は、（超）球面が得られます。
尚、リーマン球面は、複素平面に、1つの無限遠点 ∞ を追加して得られます。
無限遠点をつけ加えてえられる、射影空間や超球面は、いずれもコンパクトになります。
無限集合
有限集合（要素の数が有限である集合）でない集合です。
可算無限集合
自然数全体 N からの全単射が存在する、数え上げ可能な無限集合です。
整数全体、有理数全体、代数的数の全体等。
非可算（無限）集合
自然数全体 N からの全単射が存在しない、数え上げ不可能な無限集合です。
実数全体、複素数全体等。
無限小数
小数表示が有限の桁ではない数です。
無限列
数や点等の要素に、番号を付けて、無限に並べたもの、
つまり、長さが無限の数列、点列等です。
超限数
無限には異なる種類があり、
現代数学では、濃度の概念で捉えられるものです。
超限数は、ℵ の記号を用いて表記され、
最も濃度が小さいものは、ℵ0で表されます。
ℵ0の次に大きい濃度を持つ集合の濃度は ℵ1、
以後同様に、ℵ2・・・が定義されます。
濃度κを持つ集合の、冪集合の濃度は 2κで表されますが、
この濃度が、常にκより真に大きくなります。
自然数全体の集合 N の濃度は、ℵ0です。
整数全体の集合 Z や、有理数全体の集合 Q の濃度も、ℵ0であり、
この無限を、可算無限といいます。
2ℵ0の濃度を持つ集合としては、実数全体の集合 R があります。
カントール氏は、ℵ0より濃度が大きく、2 ℵ0より濃度が小さい無限は存在しない、
つまり 2 ℵ0 = ℵ 1が成り立つ、という仮説（連続体仮説）を立てましたが、
これを証明することはできませんでした。
現在では、連続体仮説は、
通常の数学の体系からは、「証明も反証もできない」ことが証明されています。
デデキント無限
ある集合が、自身と対等な（同じ濃度を持つ）真部分集合が存在する時、
その集合は、デデキント無限であるといいます。
デデキント無限でない集合は、デデキント有限であるといいます。
無限集合が、デデキント無限集合であるということと、可算無限部分集合を持つことは同値です。
集合論において、無限集合同士のサイズを比較するために、
有限集合の要素の個数という概念を、無限集合にも拡張させたものです。
集合の濃度は、基数と呼ばれる数によって表されます。
有限集合では、要素の個数と濃度は等しいです。
しかし無限集合では、そうはなりません。
定義
それぞれの集合 A には、A の濃度（ |A|、card(A)、#A ）、
と呼ばれるものが一つ割り当てられており、次の性質をみたします。
1. 集合 A から集合 B への全単射が存在する時、またその時に限り |A| = |B|。
2. A が有限集合の時、|A| は A の要素の個数に等しいです。
ある集合の濃度を、基数といいます。
有限集合の濃度（自然数）を、有限基数、
無限集合の濃度を、無限基数と呼びます。
正式には、A の濃度とは、A との間に、全単射が存在する順序数の中で、最小のものである、と定義されます。
集合の濃度を定義する方法は、一つではありませんが、
必要なのは、濃度が上の性質 1. と 2. をみたすことです。
可算濃度とは、
自然数全体の集合の濃度です。
通常、ℵ0または、 aと表記されます。
定義より、可算濃度をもつ集合は、
自然数全体との間に、一対一対応を付けることができ、
これによって 1, 2, 3, … と順番に数えていくことができるため、可算無限集合と呼ばれます。
自然数全体、整数全体、有理数全体は、いずれも可算無限集合です。
有限集合と可算無限集合をあわせて、可算集合と呼びます。
連続体濃度とは、
実数全体の集合の濃度です。
ℵまたは c 表記されます。
可算濃度の性質
選択公理を仮定すると、ℵ0は最小の無限基数です。
つまり、全ての無限基数 κに対して、ℵ0 ≤ κが成り立ちます。
κが ℵ0より小さい基数ならば、κは、有限基数（自然数）です。
基数 κ, λ に対して、 |A| = κ，|B| = λ である集合 A, B を取ったとします。
A から B への単射が存在する時、κ ≤ λ と定義し、
κ ≤ λ かつ κ ≠ λ の時、 κ < λ と定義します。
これは、有限基数の範囲では、通常の大小関係と一致します。
任意の基数 κ, λ, μ に対して、κ ≤ κ と、 κ ≤ λ かつ λ ≤ μ ならば κ ≤ μ が成り立ち、
また、シュレーダー=ベルンシュタインの定理：
集合 A から集合 B への単射が存在し、B から A への単射も存在すれば、A から B への全単射が存在する、により、
κ ≤ λ かつ λ ≤ κ ならば κ = λ が成り立ちます。
更に、選択公理を仮定すれば、任意の基数 κ , λ に対して κ ≤ λ または λ ≤ κ が成り立ちます。
後続基数と極限基数
全ての基数κに対して、それより大きい基数λで、その二つの基数の間には、他の基数が存在しないようなものが存在します。
つまり、λは、κの次に大きな基数です。
このような基数を、κの後続基数といいます。
ある基数の後続基数である基数のことを、単に後続基数といい、
どの基数の後続基数にもならないような基数を、極限基数といいます。
後続基数と極限基数の間には、大きな性質の違いが見られます。
基数の間には、自然数の場合と同様、和、積、冪が定義できます。
特に、有限基数（自然数）の間の演算は、通常の演算と一致します。
和
κ, λ を基数とします。
集合 A, B を |A| = κ、|B| = λ、A ∩ B = ∅ をみたすように取った時、
A ∪ B の濃度は、A, B の特定の取り方によらず、一定です。
|A∪B| を、κとλの和といい、これをκ + λで表します。
基数の和について、次が成り立ちます：
1.κ , λ が有限基数ならば、和 κ + λ は自然数間の通常の和と一致します。
2.κ + λ = λ + κ.
3. (κ + λ) + μ = κ + (λ + μ).
4.κ + 0 = 0 + κ = κ.
5.κ ≤ λ ⇒ κ + μ ≤ λ + μ.
積
κ、λを基数とします。
集合 A, B を |A| = κ、|B| = λ をみたすように取った時、
A × B の濃度は、A, B の特定の取り方によらず、一定です。
|A×B| を、κとλの積といい、これをκ·λで表します。
基数の積について、次が成り立ちます。
1.κ, λ が有限基数ならば、和 κ · λ は自然数間の通常の積と一致します。
2.κ · λ = λ · κ.
3. (κ · λ) · μ = κ · (λ · μ).
4.κ · (λ + μ) = (κ · λ) + (κ · μ).
5.κ · 1 = 1 · κ = κ.
6.κ · 0 = 0 · κ = 0.
7.κ ≤ λ ⇒ κ · μ ≤ λ · μ.
冪
κ 、λ を基数とします。
集合 A, B を |A| = κ、|B| = λ をみたすように取った時、
BA の濃度は A, B の特定の取り方によらず一定です。
|BA| を、 κのλ乗といい、これをκλで表します。
基数の冪について、次が成り立ちます。
1.κ, λ が有限基数ならば、冪 κλ は、自然数間の通常の冪と一致します。
2.κλ + μ = κλ · κμ
3. (κ · λ) μ = κμ · λμ
4. (κλ) μ = κλ · μ
5.κ0 = 1
6.κ ≠ 0 ⇒ 0κ = 0
超実数（超準実数）
無限大量や無限小量を扱う方法の一つです。
超実数の全体 *R は、実数体 R の拡大体であり、 体
1 + 1 + ⋯ + 1
の形に書ける、いかなる数よりも、大きい元を含みます。
このような数は、無限大であり、
その逆数は、無限小です。
超実数は、移行原理を満たし、
R についての一階述語論理の真なる主張は、*R においても真です。
超実数の性質
超実数の全体 *R は、実数体 R を部分体として含む、順序体を成します。
実数体とは異なり、超実数は、通常の意味の距離空間を成しませんが、
超実数の大小関係から、順序位相を入れることはできます。
超実数体は、実数列から構成できます。
超実数の応用、特に解析学における、諸問題への移行原理の適用は、超準解析と呼ばれます。
f (x) の導関数は、
関数 y(x) の導関数は dy ⁄ dx ではなく、dy ⁄ dx の標準部として定義されます。
つまり、f ′( x ) = s t ( f ( x + Δ x ) − f ( x ) /Δ x)
になります。
ただし、Δx は、無限小超実数、
st( ･ ) は、有限超実数から実数への関数で、
「有限超実数に無限に近い、ただ一つの実数への関数」という、標準部関数です。
つまり、超実数の体系は、無限小量の無限の階層を含みます。
積分も、同様に、無限和の標準部によって、定義されます。
超実数の体系において、定積分を定義する一つの方法は、
dx を無限小、n を超準自然数として、
a, a + dx, a + 2 dx, …, a + n dx
で定義される、
超準有限格子上でとった、無限和の標準部をとることです。
この時、積分の下界は a、上界は b = a + n dx です。
超実数の体系のアイデアは、
実数の集合 R を拡張し、
代数の基本公理を変更することなく、無限小や無限大を含む体系 *R を構成するというものです。
「任意の数 x に対し〜」という形のいかなる主張も、
実数にとって真であれば、超実数にとっても真です。
「実数体に対する主張を超実数体に対して引き移す」ことができるということを、移行原理といいます。
ただし、「いかなる数の集合 S に対しても〜」という形の主張は、引き継ぐことができません。
実数と超実数とが区別される唯一の性質は、
集合とは関係なく構成できる、関数や関係のような集合や、
その他の高位の構造や、量化に依るものです。
実数の集合や関数、関係は、全く同じ一階の性質をもつ、その自然な超実数への拡張を持ちます。
量化の制限に従う、この種類の論理的文は、一階述語論理における主張について述べられます。
しかし、移行原理は、R と *R が、全く同一の振る舞いを持つということを意味しません。
限りなく遠い所（無限遠）にある点のことです。
無限遠点を、実在の点とみなせるように、空間概念を一般化することができます。
ユークリッド平面上の、互いに平行な 2 直線の交点のことです。
厳密には、この交点は、ユークリッド平面の中には存在しないため、
無限遠点は、ユークリッド平面の外に存在します。
無限遠点の全体は、無限遠直線を描きます。
一般化
n 次元のユークリッド空間に対し、
空間外の点を加えて、n 次元実射影空間 Pn( R )を構成することができます。
ｎ次元実射影空間は、
ｎ次元球面とは、同位相ではありませんが、
ｎ次元球面は、ｎ次元実射影空間の二重被覆？です。
従って、球面と同様、射影空間も、リーマン幾何学の一つのモデルを与えます。
射影空間の直線とは、
Rn 上の直線の両端を、無限遠点で結ぶことで得られますが、
これは、球面における大円（球の中心を通る平面と球面との交線）に相当し、
球面上の大円が2点で交わるように、射影空間上の任意の二直線は、一点で交わります。
ユークリッド空間上での平行線は、無限遠空間上で交わります。
更に、基底空間を、実数直線 R から、複素数平面 C に取り替えた、n 次元複素射影空間 Pn( C )、
あるいは、もっと一般に、体 K 上の射影空間 Pn( K ) 等があります。
複素直線（複素数平面）C に、一点 { ∞ } を加えた空間は、
（2 次元の）球面と同相であり、
リーマン球面と呼ばれ、 P( C ) と書かれます。
次数を明示して P1( C ) と書かれることもあります。
リーマン球面は、複素射影直線であり、
実射影平面P2( R ) とは、位相が異なります。
リーマン球面（数学）
無限遠点（ 1/0 = ∞ ）を一点追加して、複素平面を拡張する一手法です。
複素射影直線とも言い、CP1 と書きます。
拡張複素平面とも言い、C ^または C ∪ {∞} と書きます。
無限遠点を追加した複素数全体は、拡張複素数として知られる数体系を構成します。
無限を伴う算術は、
通常の代数規則すべてに従う訳ではないので、
拡張複素数全体は、体を構成しません。
しかし、リーマン球面は、
幾何学的・解析学的に、無限遠においてさえも、よく振舞い、
リーマン面とも呼ばれる、1-次元複素多様体をなします。
複素解析で、複素平面（リーマン球面）上の有理型関数とは、正則関数 f と g の比 f/g です。
複素数全体への写像としては、g = 0 である限り、これは定義されません。
しかし、g = 0 であっても、複素射影直線への正則写像 ( f, g ) は整合的に定義され、これを含みます。
リーマン球面の場合、自己同型は、リーマン球面から、自身への可逆な双正則写像です。
このような写像は、メビウス変換という、一次分数変換だけです。
その対象から自身への写像であって、同対象の主要な構造を保存するものがなす群です。
リーマン球面は、物理学で有用です。
量子力学において、
複素射影直線上の点は、
光子の偏光状態、
スピン 1/2 の有質量粒子のスピン状態、
2 状態の粒子の自然な値を示します。
弦理論では、
弦の世界面 (ワールドシート) は、リーマン球面です。
天球の相対論的モデルに使用することもあるようです。
最も基本的と見なされる、代数的構造です。
群の概念は、
数学的対象 X から X への、
自己同型の集まりの満たす性質を、
代数的に抽象化することによって得られます。
この集合は、 X の対称性を表現していると考えられ、
結合法則・恒等変換の存在・逆変換の存在、等が成り立っています。
集合論に基づき、X が集合として実現されている場合には、
自己同型として、X から、それ自身への全単射写像を考えることになりますが、
空間や対象の持つ構造に応じて、更に付加条件を課すことが多いです。
ベクトル空間 X に対して、その自己同型写像の集まりを考えると、群が得られます。
定義
集合 G と、その上の二項演算 μ: G × G → G の組 (G, μ) が、群であるとは、
以下の3つの条件を満たすことをいいます。
1. 結合法則
任意の G の元 g, h, k に対して、μ( g, μ( h, k ) ) = μ( μ( g, h ), k ) を満たします。
2. 単位元の存在
μ( g , e ) = μ( e, g ) = g を、 G のどんな元 g に対しても満たすような G の元 e が存在します。
このような e は、存在すれば一意であり、G の単位元といいます。
3. 逆元の存在
G のどんな元 g に対しても、μ( g , x ) = μ( x , g ) = e となるような G の元 x が存在します。
このような x は、存在すれば一意であり、
この x を、 g の G における逆元といいます。
g−1, または演算を加法的に書く場合には、 −g で表されます。
群よりも広い概念として、
1 を満たすものは、半群、
1 と 2 を満たすものは、モノイドといいます。
尚、二項演算を写像として強調したい場合を除けば、
通常 μ( g , h ) のことを、 g ・h や、単に g h と書くことが多いです。
また、この演算を、「積」や「乗法」と呼ぶことが多いですが、
加法と呼ばれている二項演算をもとにしてできる群もあるので、注意が必要です。
群 (G, μ) が、更に、
4. 交換法則
任意の元 g, h に対して、μ( g , h ) = μ( h , g )を満たす時、
アーベル群の演算は、
+ を用いて、加法的にも書かれ、
この時、g の逆元は、−g と書かれます。
台集合に、「加法」（和）及び「乗法」（積）と呼ばれる、二種類の二項演算を備えた代数系です。
環という構造のもつ遍在性は、
数学の様々な分野において、「代数化」の動きの中心原理として働くことになりました。
また、環論は、
基本的な物理法則（の根底にある特殊相対性）や、
物質化学における対称現象の理解にも寄与します。
最もよく知られた環は、
整数全体の成す集合に、自然な加法と乗法を考えたものです。
これは、乗法が可換なので、可換環でもあります。
整数全体の成す集合 Z、
有理数全体の成す集合 Q、
実数全体の成す集合 R、
複素数全体の成す集合 Cは、
通常の加法と乗法に関して、それぞれ環を成します。
これらは、整数を除き、体でもあります。
また、同じサイズの正方行列全体の成す集合も、
行列の和と乗法に関して環を成します。
この場合の環としての、
零元は、零行列、
単位元は、単位行列で与えられます。
ただし、環と呼ばれるためには、
環の公理として、
加法は、可換、
加法と乗法は、ともに結合的、
乗法は、加法の上に分配的、
各元は、加法逆元をもつ、
加法単位元が存在する、
ことが、全て要求されます。
従って、台集合は、
加法のもと、「加法群」と呼ばれるアーベル群を成し、
乗法のもと、「乗法半群」と呼ばれる半群であって、
乗法は、加法に対して分配的であり、
しばしば、乗法単位元を持ちます。
四則演算が（零で割ることを除き）自由に行うことができる代数系です。
「体とは、単位的環であって、その非零元の全体が乗法に関して群を成すもの」
または、
「体とは、非自明な単位的環であって、任意の非零元が乗法逆元を持つもの」
をいいます。
尚、積が可換かそうでないかで、目的意識や手法は大きく異なります。
f ( z ) = （ a z + b ）/ （ c z + d ）
の形で表される、
複素一変数 z に関する有理関数です。
係数 a, b, c, d は、ad − bc ≠ 0 を満足する複素定数です。
メビウス変換は、
複素数平面を、実二次元球面へ立体射影したものの上で、
回転と平行移動により、各点の位置と向きを変更したものを、
再度、平面に立体射影することによって得られます。
「角度」を保ち（等角性）、
任意の「直線または円」を、「直線または円」に写します（円円対応）。
複素射影直線上の射影変換であり、
全体は、メビウス群と呼ばれる、射影一般線型群PGL( 2, C ) を成します。
また、メビウス変換は、リーマン球面上に、二つの不動点 γ1, γ2 （重複可）を持ちます。
不動点は、無限遠にあってもよいです。
尚、制限ローレンツ群 SO+( 1,3 ) の作用は、
メビウス群 PSL( 2, C ) のそれと一致するそうです。
PSL( 2,C ) は、
ミンコフスキー空間に、原点、空間の向き、時間方向を全て保存する、等距変換全体の成す群として作用します。
また、この作用を、正光錐における Q = 1 なる点の全体に制限することにより、
メビウス群を、各元が、三次元双曲空間 H3 に向きを保つ、等距変換として作用する群と捉えることができます。
ポアンカレ球体模型を用いて、
R3 における単位球体と H3 とを同一視するならば、
リーマン球面を、H3 の共形的境界として考えることができます。
これにより、どのような H3 の向きを保つ等距変換からでも、リーマン球面上のメビウス変換が得られ、
逆に、メビウス変換から、向きを保つ等距変換も、同様に得られます。
ちなみに、メビウス変換からなる二十面体群は、
クライン氏により、五次方程式の解析解を与えるために用いられました。
ラムゼー理論に関する、
未解決問題の解の推定値における上限として得られた自然数です。
数学の証明で使われたことのある、最大の数です。
極めて巨大な巨大数であり、
指数で表記するのは事実上不可能なため、
特別な表記法を用いて表されます。
グーゴル ( googol )
1グーゴルは、10の100乗 (10100) です。
観測可能な範囲の宇宙に存在している原子の数
（約1079から1081個と推算されています）よりも多い巨大数です。
ちなみに、Googleの名前は、
命名者ラリー・ペイジ氏によるgoogol のつづり間違いに由来します。