かがくののおと

かがくののおと　3

簡単な微分方程式

わき道にそれる理由
　原子や分子では，原子核のまわりに電子が存在し運動している．電子の運動は，波動方程式という微分方程式であらわされ，これを解くことで，原子や分子の構造がみえてくる．波動方程式を解くことは目標ではないが，波動方程式の意味や解の性質を知っていることは重要である．そのために，簡単な微分方程式をみてみる．

直線を表す関数
つぎの二つの関数に対して，

　　　　　y = 2 x + 1

　　　　　y = 2 x + 3

xについて微分をすると，いずれも同じ結果を与える．

　　　　　dy / dx = 2

得られた微分係数は，もとの関数の変化率を表す．
見方を変えて，変化率が 2 である関数を求めることにする．この条件を満足する方程式をたてると，

　　　　　dy / dx = 2

これが，微分方程式である．これを解くために，両辺について，x で積分すると，その解が得られる．

　　　　　y = 2 x + c

ただし，ここで，c は積分定数である．積分定数の存在は，解がいくつもあることを示唆している．積分定数は，初期条件を与えることで定めることができる．原点を通る直線なら， c = 0 である．

波を表す関数　( 振動を表す関数 )
つぎの方程式を解く　( 二回微分が，自分自身で，符号がマイナスの場合 )
```
 
              d²y 
                           =   -y         (.gif)
              dx ²
```
　　　　　　　　　　　　　　　　
次式は，微分方程式を満足するので，解の一つである
　　　　　　　　　　
ここで，初期条件として，x =0 および x = 2p のときに，y = 0とおくと，

　　　　　y = sin x

もう少し，一般的にした微分方程式とその解は，
　　　　　　
　　　　　　
となる．これは， x が 0 と 2 p のときに節となる定常波を表す，波の関数である．n は，1,2,3,4......　であり，条件を満たす波が複数存在する．(これがわかると，一次元のシュレディンガー方程式は簡単に解ける．)
放射性物質の崩壊
原子の数を N とすると，崩壊する速度は，原子の数に比例するので，微分方程式は，
　　　　　　　
変形し積分する(変数分離法)
　　　　　　
```
 
                dN 
          ∫                 =   -k∫  d t            (.gif)  

                    N
```
解は
　　　　　　　
形を変え，初期条件　t = 0 のとき，N = N₀ を入れると，
　　　　　　　
この方法は，一次反応速度の解法にも適用できる．また，符号を変え，増加するとすると，微生物の増殖モデルに適用できる．

参考書

D.バージェス, M. ボリー(著), 垣田高夫, 大町比佐栄(訳), 微分方程式で数学モデルを作ろう, 日本評論社, 1995.