あなたは 201347905423 のような大きな数が、９の倍数かどうか判断しなさいと言われたらどうしますか。実際に 20137905423 ÷ 9 を計算し、割り切れるかどうかをみればよいのですが、かなり面倒な計算ですね。何かもっと早く判定する方法はないものでしょうか。
もしこの問題が、２の倍数かどうか判定せよという問題ならば、みなさんはすぐにわかるでしょう。すなわち、一の位が２の倍数（偶数）ならば、その数は２の倍数であり、そうでなければ、その数は２の倍数ではないということになります。したがって、20137905423は２の倍数ではありません。しかし、３の倍数かどうか判定せよということになると、一の位の数字を見るだけでは無理なことは、２１が３の倍数だが１１が３の倍数ではないことから明らかです。
それでは、実際に３で割ること以外に３の倍数か判定する方法はないものでしょうか。文字式を勉強した今、それを使って考えてみることにしましょう。
①３の倍数判定法
| 各位の数字の和が３で割り切れるときにかぎり、その数は３の倍数である。 |
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たとえば、５３１が３の倍数かどうか判定するには、５＋３＋１＝９が３で割 り切れるかどうかをみる。この場合９は３で割り切れるので、５３１は３の倍数 である。
なぜこのようなことが言えるのか？
１の位がａ、10の位がｂ、100の位がｃの３桁の整数について考えてみると、
100ａ＋10ｂ＋ｃ ＝ (99＋1)ａ ＋ (9＋1)ｂ ＋ｃ
＝ 99ａ＋ａ ＋ 9ｂ＋ｂ ＋ｃ
＝ (99ａ＋9ｂ) ＋ (ａ＋ｂ＋ｃ)
＝ 3(33ａ＋3ｂ) ＋ (ａ＋ｂ＋ｃ)
赤字部分は３の倍数であることは明らかであるからａ＋ｂ＋ｃすなわち、各位の数字の和が３で割り切れるときにかぎり３の倍数ということになる。
今、３桁整数の場合だけについて述べたが、何桁であろうと同じ方法で説明できる。
ちなみに 20137905423 は 2+0+1+3+7+9+0+5+4+2+3=36 であるから、36÷3=12 すなわち、３の倍数である。
以下に、４～９の各倍数判定法を紹介します。
②４の倍数判定法
| 下２桁が００か４の倍数であるときにかぎりその数は４の倍数である。 |
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なぜこのようなことが言えるのか？
１００は４で割り切れるから、１００の倍数は４の倍数である。したがって、下２桁が００である整数は４の倍数である。
下２桁が００でない場合、たとえば、3468を例にとると、3468=3400+68であり、3400部分は４の倍数であるから下２桁68が４の倍数かどうかで3468が４の倍数かどうかが判定できる。この場合、68は４の倍数であるから3468は４の倍数である。
ここでさらにもう少し掘り下げて考えてみよう。下２桁の十の位の数字をａ、一の位の数字をｂとすると、
10ａ＋ｂ＝８ａ＋２ａ＋ｂ 部分は４の倍数だから、２ａ＋ｂが４の倍数、または０ならば、その数は４の倍数だといえる。
すなわち、十の位の数字の２倍と一の位の数字の和が４の倍数または０で判定できるのである。
③５の倍数判定法
| 一の位の数字が０か５ならば、５の倍数である。 |
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④６の倍数判定法
その数が偶数であり、かつ、各位の数字の和が３の倍数であるときにかぎり、 その数は６の倍数である。 |
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理由は各自考えてみよう。
⑤７の倍数判定法
各位の数字に、一の位から順に １，３，２，－１，－３，－２ の６つの数をこの順にかけ、（この６つの数は７桁以上の数の場合繰り返してかける）その和が７
で割り切れるときにかぎり、その数は７の倍数である。 |
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⑥８の倍数判定法
| 下３桁が０００か８の倍数であれば、その数は８の倍数である。 |
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もう少し掘り下げて考えると、一の位の数字に十のくらいの数字の２倍を加え、さらに百の位の数字の４倍を加えたものが８で割り切れるときにかぎり、その数は８の倍数だといえる。
７の倍数判定法、８の倍数判定法は少しむずかしいですが、文字式を使って考えるとその方法の正しさが証明できます。
一度チャレンジしてみてください！
⑦９の倍数判定法
| ３の倍数判定法を読んだとき、既に発見している人もあると思いますが、 100ａ＋10ｂ＋ｃ ＝ (99ａ＋9ｂ) ＋ (ａ＋ｂ＋ｃ) ＝ 9(11ａ＋1ｂ) ＋ (ａ＋ｂ＋ｃ) であるから、 赤字部分は９で割り切れることは明らかである。 したがって、各位の数字の和が９で割り切れるときにかぎり、その数は９の倍数である。 |
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２０１３７９０５４２３ は ９の倍数 である。
なぜなら、2＋0＋1＋3＋7＋9＋0＋5＋4＋2＋3＝36 であり、36÷9＝4
すなわち、各位の数字の和が９で割り切れるから。
