［　回転体の体積の比　］　…　三角すいの体積　　　［　関学エクスプレス　�ｂP１−１　より　］ 　 　　　　　辺の長さの比が３：４：５の直角三角形があります。　３つの辺をそれぞれ軸としてこの三角形を１回転してできる 　　　　　立体のうち、体積が最小のものと最大のものの比を求めなさい。

　　　　　

　　　　　［　解説　］

　　　　　３辺の長さの比が３：４：５では計算がわかりにくいので、下の図では３ｃｍ、４ｃｍ、５ｃｍ、とおきました。

　　

　　　　�@では４ｃｍの辺を軸として回転させた場合、　�Aでは、３ｃｍの辺を軸として回転させた場合、

　　　　そして、�Bでは�Dｃｍの辺を軸として回転させた場合ですが、ここだけが問題になってきます。

　　　　この直角三角形は、３ｃｍの辺と４ｃｍの辺が直角になっているので、面積は　３ｃｍ×４ｃｍ÷２＝６ｃｍ２　です。

　　　　しかし、�Bの場合、５ｃｍの辺が底辺になっているので、その高さは　　

　　　　３×４÷２＝５×□÷２

　　　　１２＝５×□　　□＝２．４　　より　高さが２．４ｃｍになることに注意します。


　　　　次に、�@、�A、�B　のそれぞれの場合について、

　　　　回転体の体積の比を求めるので、回転体の体積を求める式だけを書いていきます。

　　　　その時に、「×π」と「÷３」は３つの式に共通してきますので、体積比を求めるのですから、これは省きます。


　　　　�@　：　３×３×π×４÷３　→　３×３×４＝３６

　　　　�A　：　４×４×π×３÷３　→　４×４×３＝４８

　　　　�B　：　２．４×２．４×π×５÷３　→　２．４×２．４×５＝２８．８

　　　

　　　　以上より、　

　　　　体積が最小になるのは�Bの場合の「２８．８」

　　　　体積が最大になるのは�Aの場合の「４８」　　


　　　　［　最小　］　：　［　最大　］　＝　２８．８　：　４８　＝　２８８　：　４８０

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 ＝　　３　　：　　５


　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　［解］　３：５