t検定について理解したこと


検定手法そのものではなくて、概念（考え方）として、「ハンバーガーショップで学ぶ楽しい統計学 」で学んだこと。

１．母集団の推定
t検定は、標本（サンプル）から母集団を推定する手法に基づいている。
サンプルサイズに応じたt分布というのがあり、サンプルサイズが十分に大きい（自由度が無限大）とき、t分布＝正規分布となる。

母集団の推定には、平均と不偏分散、をもちいる。
不偏分散とは、分散を求めるときに除する数値をサンプルサイズより１少なくする。

母集団の平均 ＝ 標本の平均
母集団の分散 ＝ 不偏分散
　　　　　　 ＝（（データー平均）の２乗）の総和）／（個数−１）

２．母集団の平均（母平均）の推計
標本をたくさん集めたとき、それぞれの標本平均の分布はt分布にしたがう。
標本平均の平均は、母平均に一致する
標本平均の分散は、推定毋分散をサンプルサイズで割ったもの
つまり標本平均の分散は、標本自体の分散よりサンプルサイズ分だけ小さくなる。

標本平均の平均　←標本平均を使う
標本平均の分散　←毋分散（＝不偏分散）／標本数

これを利用して、ある一つの標本から母集団の平均を推定するには、標本平均の分散から計算して得られる95%信頼区間（求めた値が分布の面積比95%の領域内にあるということ）によって推定値に幅をもたせる（区間推計）。
区間推計にはt分布表から自由度（サンプルサイズ−１）を参照してもとめたtを用いる。

信頼区間 ＝ 標本平均±t×標本標準誤差

標本標準誤差 ＝ 標本平均の標準偏差
　　　　　　 ＝（不偏分散／サンプルサイズ）の平方根

３．標本平均の差の信頼区間
標本平均の差（標本平均Ａー標本平均B）の分布もまたt分布にしたがうので、上記信頼区間の式がそのまま使える（式の詳細は省略）。

平均の差の信頼区間 ＝（標本平均A－標本平均B）±t×差の標本標準誤差

標本平均の差から95%区間推計によってそれぞれの母集団の平均を推定したとき、その範囲に０が含まれると、もとの母平均は一致する可能性が95%ある（下の図はあくまでも理解を助けるためのイメージ図）。

t-test

４．ｔ検定
上記の式で、有効区間＝０とし、「母平均が等しい」との仮説を立てて、tの値をもとめると、tが1.96（自由度無限大の場合）より大きいか小さいかでその仮説の真偽を判定できる。

０＝（標本平均A－標本平均B）±t×差の標本標準誤差

すなわち

ｔ＝（標本平均A－標本平均B）／差の標本標準誤差

t＞1.96 　　のとき、「母平均は等しい」という確率が５％未満。

つまり、前提とした「母平均が等しい」ということは、あまり起こりえない（20回に１回程度）ので、仮説は間違っているとみなす。

t＝＜1.96　のとき、「母平均は等しい」ということが95%の確率で起こりうるので、仮説は正しい。

この読み取りを説明するのがまだうまくできないが、

「母平均は等しい」ということが95%の確率で起こりうるが、それは95%の信頼区間で推定した母集団（AとBの平均値の差）の最大値と最小値の範囲に０が含まれるというだけで、０になる確率がどのくらいかはわからない。

ということで良いのだろうと思う。

t検定は、「母平均が等しい」という仮説の検定であって、それ以上のことはわからない。


日 - 9 月 16, 2007   01:21 午後        

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